关于线性规划，人教A版的课本中是这样定义的，一般的，在线性约束条件下求解线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划。
在许多应用领域中，常常会遇到如何合理安排有限资源（人力、物力、财力）的问题，使预期目标达到最优的问题，这一大类问题大多可以归结为线性目标函数、线性约束条件的规划问题（即线性规划模型），并利用已有的算法和计算机软件得到解答。
二、线性规划问题的项目式教学的必要性
（一）在关于数学和数学教育的大讨论中，问及在数学和数学教育中什么最重要时，著名数学家P. Harmous在一篇总结文章中强调“问题是关键”，数学概念、定理、模型和应用都是在解决问题的过程中总结形成的。在数学课程目标中，特别强调发展学生发现、提出问题与分析解决问题的能力，在基于数学核心素养的教学中，这也是关注的重点。
线性规划问题对学生专业知识的要求低，解决方法多样，但在传统教学中，线性规划依托于简短的题目，题目中信息较为单一，仅为学生陈列出解决此问题所需条件，学生利用题目中信息进行建模的过程也很简单，一般按照“画、移、解、答”的步骤，问题即可解出。这些数学应用于生活的极佳的例子，就在传统教学的解题套路中丧失了其精华。
如果采用项目式的形式，将题目中的信息量增多，添加约束条件和无关条件，降低数据的理想化，对学生分析问题的能力要求提高，它要求学生具有清晰的思路、缜密的逻辑。线性规划问题的建模过程，要求结合自身数学知识储备情况，分析问题，确定方向，甚至还需要了解非本学段的数学知识。方向的确定依托于大胆的猜想，而猜想的过程是依托于对已知条件的分析和逆向推理，这对学生逻辑推理核心素养的提升有很大帮助。
（二）高考试题命题变化性。高考试卷命题者将研发新题型、多学科融合、探索试题排列的新模式，破除题海战术、解题套路的训练，增加开放题、结构不完整的试题、条件多余的试题，这就要求学生选择合适的条件解题，或者条件不够的试题，要考生补充适当的条件，解决问题。这一系列高考命题的变化，希望的是让学生真正地在学数学，而不是被数学套路。
线性规划问题的包容性使得我们可以将各学科知识与生活常识融入进去，整数线性规划问题的开放性强，学生可以依据生活常识补充完整试题结构，从多个目标和限制条件中选择少而精的部分确定解决问题的方向，利用穷举法、割平面法等方法灵活地解决问题。因此，在线性规划问题应用项目式教学方式符合高考的考察方向。
三、线性规划问题的项目式教学的可行性
创设合适情境是项目式教学基于数学核心素养教学的一个关注点。选择一个合适的情境，更利于激发学生在项目式教学中的兴趣和热情。
线性规划问题来源于生活，解决方案又可应用于生活，依托于线性规划问题的项目式教学更能引起学生的共鸣。资源优化分配等线性规划问题符合社会发展主旋律，这类项目素材容易挖掘，且学生通过项目式教学熟悉时代的前沿，这既符合新课标的要求，又与项目式教学的初衷一致。
四、线性规划问题在项目式教学中的应用反思
在上学期进行的项目式教学中，我们选用的交通枢纽接驳布局问题即是一个整数线性规划问题。现青岛市拟建立一个集高铁、轻轨、公交、出租、步行五位一体的交通枢纽。你的咨询团队要为你们的客户——青岛市枢纽项目建设公司提供交通接驳布局方案，现你们得到的基本条件和信息如下：①枢纽内各层可利用平面面积10000平方米，长度100米，宽度100米；②不同交通的换乘在同层布局时不同交通功能区不能重合；③各交通方式间的换乘量信息；④各交通功能区可简化为矩形，需求面积及尺寸；⑤同种交通功能区场站布局于不同层位时工程造价不相同；⑥各层之间的垂直距离约15米。你的项目组需要建立数学模型，确定枢纽建设几层、各交通功能区建设在第几层的何处位置，从而尽可能地节省建设成本，并缩短乘客的换乘距离。学生在完成此项目时，遇到的第一个困难就是对题意的理解，学生需要具备交通方面的常识与阅读表格信息的能力，才能清楚题目的目标与约束条件。其次，此题虽是线性规划问题，但与课本中的线性规划题目有很大差距。高中阶段数学课程中所接触到的线性规划大都是连续型的，且题目所给信息完整，学生完全可以通过题目所给信息列出约束方程组，表达目标函数，再通过一系列线性规划题目的解题套路得出结果。
此次项目式教学的项目背景来源于生活，解题方法思路依托于课本，而实际操作中又要在连续型线性规划的基础上改进，这就需要发挥学生能动性，积极探索解决问题的新方法；此外，题目中涉及到简单空间几何构型，学生此时还没有学习立体几何，这就需要他们自己去创造一种表示形式，使其可以在论文中清晰地向读者阐述自己的方案。题目中的空间几何构型简单，学生探索出的表示方式五花八门，有的采用分层斜二测画法，有的利用长方体叠层表示，这些方法老师并没有提示，由他们自由讨论得出，这样一个知识的生成过程，将为以后学习空间几何埋下种子，学生自行探索出的表达方式，与教师传授的表达方式，对他们而言肯定是截然不同的。
在解题过程中，同学们分组进行，有的小组同学在考虑到了各个交通方式间的换乘量及换乘距离、不同交通功能区场站的需求面积及尺寸、所需建设的枢纽层数、枢纽接驳站的总造价等方面的问题，对布局所需要考虑的各因素之间的关系做了思维导图，拟采用建立函数解析式的方式，求解使得乘客转乘距离短、投资小的最优方案。此线性规划的复杂性使得学生没有固定套路可以解题，在寻找可行域时只能通过尝试数据分析的方式，将建设范围限定在地面与地上一层，这样既满足换乘量较小，又使成本最低，同时各功能区的面积及尺寸与限定范围也不冲突。在此基础上，又有各种如上所示的解决方案。每种方案都会遇到难以表达的函数、难于处理的数据和犹豫不决的最终决定。最终结果的得出，不是依靠老师的数学知识有多专业，而是老师凸显出一定的品格，以自身顽强的意志、坚韧的性格，让学生受到感染，进而模仿、思考、升华到自己的行为上去。总造价表达式的简化，不是需要老师亲自去做，而是需要老师带头一起学习；最终数据的计算，不是需要老师亲自利用MATLAB编程，而是需要老师表现出遇到困难就查阅资料积极学习的态度。
完成一个线性规划项目的过程是老师以自身优秀品格潜移默化感染学生的过程。在解决问题的过程中，老师对于问题的观察、分析，在遇到困难时的积极寻找思路的态度，在与学生合作过程中所表现出的包容、协调能力，在取得阶段性胜利时对心态的调整，在团队停滞不前时对目标的执着……这些珍贵的品质和关键能力相比专业知识，都将对学生一生的发展产生更深远的影响。
五、线性规划问题在项目式教学中的应用规划
（一）一个生产安排问题
SAVE-IT公司下属垃圾处理厂收集和处理4类垃圾，并把部分处理后的垃圾，配成混合肥料出售，以增加收入。混合肥料分为ABC三等，如其配料成分、混合费用、每公斤肥料售价，等等。SAVE-IT公司是青岛市环保组织所拥有的公司，青岛市环保组织每周给公司3000元补贴用于垃圾处理，条件是每周该至少处理掉该地区所有收集到的垃圾的一半，垃圾收集情况和处理费用表格所示。你所在的团队受到SAVE-IT公司的聘请，接到的项目是，怎样安排使得公司获得的利润最大。
（二）电动汽车充电站资源配置问题
中国《电动汽车充电基础设施发展指南》提出，到2020年全国电动汽车保有量将超过500万辆，其中电动公交车超过20万辆，电动出租车超过30万辆，电动物流和环卫用车超过20万辆，电动公务与私人乘用车超过430万辆。可以预计，到2020年，按每度电1.6元人民币（0.8元电费+0.8元服务费），电动汽车充电市场规模可达到530至1325亿元人民币。
1.电动汽车充电站等级。根据某城市出台的《电动汽车电能供给与保障技术规范：充电站》这一标准文件，充电站的建设分为4个等级，如下：一级充电站该等级充电站的充电能力至少为6800kWh，每天可为200辆以上大中型商用车或者500辆以上乘用车提供充电、电池更换服务。二级充电站的充电能力在3400kWh与6800kWh之间，每天可为100—200辆大中型商用车或者200—500辆乘用车提供充电、电池更换服务。三级充电站的充电能力在1700kWh与3400kWh之间，每天可为40—100辆大中型商用车或者100—200辆乘用车提供充电、电池更换服务。四级充电站的充电能力一般小于1700kWh，每天可为40辆以下大中型商用车或者100辆以下乘用车提供充电、电池更换服务。以上等级的充电站均可配置一定容量的储能电池，用于电能使用上的“移峰填谷”（将用电“谷时段”的电能储存起来，在用电“峰时段”再使用）。
2.电动汽车充电站的三种充电模式。慢充方式电动汽车的续航里程被设计得尽可能大，几乎能够满足车辆一天的用电量，只需要利用晚上的时间进行充电。由于慢充的充电电流不是很大，因此可选择在家庭停车场等地进行慢充。快充方式电动汽车的续航里程较为适中，在车辆运营的空闲时间就可实现快速充电。大电流快速充电大大缩短充电时间，然而大电流会对公用电网产生危害，所以快速充电只适用于标准充电站。换电方式车辆电池组乃标准化设计，便于更换。充电站能够实现电池跟车辆的专业化、快速化分离与更换，以保证车辆的正常行驶。由于更换电池或电池组的专业化水平要求比较高，因此换电方式也只适用于标准充电站。
3.一般工业分时电价。你所在的团队受政府邀请完成3个项目任务。（1）充电站选址。前述城市一个区域内的候选充电站为10个、用户需求点的数目为30个。假设电动汽车的单位里程充电成本都为每公里1元，根据电动汽车客户分布的特点，请建立一个同时考虑充电站初始建设成本和用户充电成本最小化的多等级充电站选址模型，并确定出充电站选址的位置、每个充电站的建设等级及各个需求点车辆选择充电站的分布情况。（2）分时价格配置。对于快充模式且配有储能电池的充电站，试在考虑工业分时电价，并在分析影响电动汽车充电行为的主要因素（例如充电价格、一天中充电车辆的时间分布等因素）的基础上，请建立模型，通过调节分时充电价格，以实现充电站购买一般工业用电的成本最低。（3）对策建议。充电桩/站建设滞后已经成为制约新能源汽车发展的主要因素。根据你所了解的相关情况，分析充电桩/站大规模应用所面临的问题并提出相应对策（诸如技术、商业或公共政策等方面）。
（作者单位 山东省青岛第三十九中学）