重奖百万美元的黎曼猜想，被证明了吗？
黎曼（IC图）柏林时间9月24日上午，英国皇家学会院士迈克尔·阿蒂亚爵士在有数十位菲尔兹奖和图灵奖得主参加的海德堡获奖者论坛上，阐述了他对黎曼猜想的证明。
黎曼猜想，这个以德国数学大师黎曼（Bernhard Riemann）冠名的猜想，称得上是当今最重要的数学猜想，与众多数学命题有着密切关系。而89岁的阿蒂亚爵士是一位功绩卓著的数学家，在过去半个多世纪里拿下了大量崇高奖项，其中包括有数学诺贝尔奖之名的菲尔兹奖和在奖金金额上有数学诺贝尔奖之实的阿贝尔奖。如果数学界有 “大满贯”，那阿蒂亚爵士是最接近 “大满贯” 的数学家之 一。
百万美元重奖
2000年5月24日，美国克雷数学研究所在法国巴黎召开了一次数学会议。在会议上，与会者们列出了七个数学难题，并做出了一个颇具轰动性的决定：为每个难题设立100万美元的巨额奖金。距此次会议100年前的1900年，也是在巴黎，也是在一次数学会议上，一位名叫希尔伯特（David Hilbert）的德国数学大师也列出了一系列数学难题。那些难题一分钱的奖金都没有，但对后世的数学发展产生了深远影响。这两次远隔一个世纪遥相呼应的数学会议有且只有一个共同的难题，那就是 “黎曼猜想”（Riemann hypothesis）。黎曼猜想，顾名思义，是由一位名叫黎曼的数学家提出的。这位数学家于1826年出生在如今属于德国，当时属于汉诺威王国的一座名叫布列斯伦茨的小镇。1859年，黎曼被选为了柏林科学院的通信院士。作为对这一崇高荣誉的回报，他向柏林科学院提交了一篇题为“论小于给定数值的素数个数”的论文。那篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的“诞生地”。
黎曼那篇论文所研究的是一个数学家们长期以来就很感兴趣的问题，那就是素数的分布。素数是像2、5、19、137那样除了1和自身以外不能被其它正整数整除的数。这些数在数论研究中有着极大的重要性，因为所有大于1的正整数都可以表示成它们的乘积。从某种意义上讲，它们在数论中的地位类似于构筑万物的原子在物理世界中的地位。素数的定义简单得可以在中学、甚至小学课上进行讲授，但它们的分布却奥妙得异乎寻常，数学家们付出了极大的心力，却迄今未能彻底了解。黎曼那篇论文的一个重大成果，就是发现素数分布的奥秘完全蕴藏在一个特殊的函数之中——尤其是，使那个函数取值为零的一系列特殊的点对素数分布的细致规律有着决定性的影响。那个函数如今被称为黎曼 ζ 函数，那一系列特殊的点则被称为黎曼 ζ 函数的非平凡零点。
有意思的是，黎曼那篇论文的成果虽然重大，文字却极为简练。甚至简练得有些过分，因为它包括了很多“证明从略”的地方。而要命的是，“证明从略”原本是该用来省略那些显而易见的证明的，黎曼的论文却并非如此，他那些“证明从略”的地方有些花费了后世数学家们几十年的努力才得以补全，有些甚至直到今天仍是空白。黎曼的论文在为数不少的“证明从略”之外，却引人注目地包含了一个他明确承认自己无法证明的命题，那个命题就是黎曼猜想。
那么，黎曼猜想究竟是一个什么猜想呢？简单地说，是一个关于我们前面提到的，对素数分布的细致规律有着决定性影响的黎曼 ζ 函数的非平凡零点的猜想。关于那些非平凡零点，容易证明的结果只有一个，那就是它们都分布在一个带状区域上，但黎曼认为它们的分布要比这个容易证明的结果齐整得多，他猜测它们全都位于该带状区域正中央的一条直线上，这就是所谓的黎曼猜想。而这条被猜测为包含黎曼 ζ 函数所有非平凡零点的直线则被称为临界线。
多少数学家倒在黎曼猜想的脚下
黎曼猜想自1859年“诞生”以来，已经过了一百五十九个春秋。在这期间，它就像一座巍峨的山峰，吸引了无数数学家前去攀登，却谁也没能登顶。当然，如果仅从时间上比较的话，黎曼猜想的这个纪录跟费马猜想时隔三个半世纪以上才被解决，以及哥德巴赫猜想历经两个半世纪以上仍屹立不倒相比，还差得很远。
但黎曼猜想在数学上的重要性却要远远超过这两个大众知名度更高的猜想。有人统计过，在当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想（或其推广形式）的成立为前提。这意味着：如果黎曼猜想及其推广形式被证明，所有那些数学命题就全都可以荣升为定理；反之，如果黎曼猜想被否证，则那些数学命题中起码有一部分恐将成为陪葬。一个数学猜想与为数如此众多的数学命题的命运息息相关，是极为罕有的。
数学家们攀登黎曼猜想这座巍峨山峰的努力迄今未能取得完全成功，不过，在这过程中却也取得了一些阶段性成果，好比是扎下了几座营寨。
丹麦数学家玻尔和英国数学家哈代曾取得过一些阶段性的成果。有一段时间，哈代常常利用假期访问玻尔，一起讨论黎曼猜想，直到假期将尽才匆匆赶回英国。结果有一次，当哈代又必须匆匆赶回英国时，很不幸地发现码头上只剩下一条小船可以乘坐了。从丹麦到英国要跨越几百公里宽的北海（North Sea），在汪洋大海中乘坐小船可不是闹着玩的事情，弄不好就得葬身鱼腹。为了旅途的平安，信奉上帝的乘客们大都忙着祈求上帝的保佑。哈代却是一个坚决不信上帝的人，非但不信，甚至还蓄意跟上帝作对：把向大众证明上帝不存在列入自己某一年的年度心愿之 一。
不过在那生死攸关的旅程面前哈代也没闲着，他给玻尔发去了一张简短的明信片，上面只写了一句话：“我已经证明了黎曼猜想。”哈代果真证明了黎曼猜想吗？当然不是。他为什么要发这么一张忽悠同事的明信片呢？当他平安抵达英国后他向玻尔解释了原因。他说如果那次他所乘坐的小船果真沉没了的话，那句话就会变得死无对证，人们就只好相信他确实证明了黎曼猜想。可是他知道上帝是绝不会甘心让他这样一个坚决不信上帝的人获得如此巨大的荣誉的，因此它一定不会让小船沉没的。
迈克尔·阿蒂亚爵士（IC图）黎曼猜想的极度艰深还有可能对个别数学家的健康产生过影响。比如流行传记《美丽心灵》的主角、美国数学家纳什（John Nash）曾在20世纪50年代后期研究过黎曼猜想，在那之后不久就患上了精神分裂症。纳什患病的原因一般认为是参与军方工作引致的心理压力，但也有人认为他贸然去啃黎曼猜想那样的坚果，对其病症发展有可能起到过推波助澜的作用。
黎曼猜想可以说是当今数学界最重要、并且是数学家们最期待解决的数学猜想。美国数学家蒙哥马利 （Hugh Montgomery）曾经表示，如果有魔鬼答应让数学家们用自己的灵魂来换取一个数学命题的证明，多数数学家想要换取的将会是黎曼猜想的证明。在1919年的一次演讲中，希尔伯特曾表示自己有望见到黎曼猜想的解决，但后来他的态度显著地转为了悲观。据说有人曾经问他：如果他能在500年后重返人间，他最想问的问题是什么？他回答：是否已经有人解决了黎曼猜想？
《美丽心灵》剧照不了了之的挑战
而这一次，这位89岁的大满贯数学家向159岁的黎曼猜想发起了挑战。他说自己受一种从未离开过自己的激情所驱使，“我已从事数学研究70年，我无法停下”。不过，结果如何呢？
我看了阿蒂亚爵士的报告录像，并阅读了那篇“疑似”论文。报告录像给我一种交杂的感觉，一开始讲述历史的部分是有一定条理，甚至有一定幽默的——那句“Solve the Riemann hypothesis and you become famous. If you are famous already, you become infamous” （解决黎曼猜想，你会变得声名显赫，如果你已经声名显赫，你会变得声名狼藉）更是堪称整个报告的唯一亮点。然而到了证明黎曼猜想的部分，从试图用数学解释 “精细结构常数” （这个物理常数的数值其实跟能标有关，并非数学意义上的常数）这个本身就很突兀的努力，突兀地转到以一张PPT的篇幅宣称证明黎曼猜想，这一刻，我相信满座听众绝无一人明白他的意思。
至于那篇题为 “黎曼猜想”的总计5页的“疑似”论文，它是否是阿蒂亚爵士的正式论文，目前尚无定论。不过可能性不小，一是风格跟阿蒂亚爵士的近期论文比较相似，二是阿蒂亚爵士在报告末尾答听众问题时提到论文恰是5页。跟报告中的那一张透明片相比，论文稍体面些，但依然存在明显问题。拣小的说，几天前的通告中提到的狄拉克在论文中未曾出现，呈前言不搭后语之感；2.6 这个标号则出现了两次，显得有些粗疏和草率。拣大的说，从2.6到3.3这大半页的核心推理——也就是对黎曼猜想的“证明”——完全推不动。而且哪怕姑妄读之，推特上也已有读者注意到，整个过程没有用到黎曼 ζ 函数的任何特殊性质，从而要么是错误的，要么适用于在所讨论区域内解析性质相同的任何函数，难不成所有那些函数的零点全都归黎曼猜想管？
当然，对证明的检验是不该由我来下结论。不过我觉得事情的发展很可能会印证我的猜测，即数学界出于对阿蒂亚爵士的敬重，不愿让他难堪，保持缄默令其不了了之。事实上，阿蒂亚爵士此前几次错误也基本是如此落幕的，私下沟通容或有之，但数学界并未大张旗鼓地宣称他的错 误。
阿蒂亚爵士自己倒是将成败看得很淡，曾表示：“我已得到自己所需的全部奖项，还有什么可失去的？这就是我为什么会冒年轻研究者不准备冒的险。”
● 摘自卢昌海个人主页，有删改