当数学遇到音乐
最近，听到一首以“圆周率”数字为乐谱的钢琴曲，虽奇特，却优美。早在公元5 世纪，中国南北朝时期的数学家祖冲之率先计算出“圆周率”小数点后7位的π值。纵观数学史，从公元前20世纪计算出点后一位数，到公元20世纪，计算到点后亿万位数。“圆周率”神奇无限，也让艺术家们着迷。于是，才有了将若干位数演化为音符的奇想。
当数学遇到音乐，会怎样？最直观的是，作为记录音乐的乐谱就以数字为基础：五线谱以高低音符构筑，犹似数字的级进；简谱所用的阿拉伯数字，从1到7，更体现出音乐在数字上的奇妙构成。
“圆周率”的琴声未绝，眼前又浮现出古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯的身影。他认为，“万物皆数”“数是万物的本质”。他将其黄金分割公式置于“万物”之中，并有一个音乐化的表述：太阳、月亮、星辰的轨道，与地球的距离之比，分别等于三种协和的音程，即八度音、五度音、四度音。更进一步，他以声学的物理方式在一条弦上拨一个音，再在两条弦上拨响它的第五度和第八度音。结论是：三条弦的长度之比为 6：4：3。通过数学和物理现象之间的联系，毕达哥拉斯认为：音程的和谐与宇宙星际的秩序相对应，音乐亦在“万物皆数”的范畴中。这位数学家对琴弦长度与协和音程关系的演算，为后来音乐的“五度相生律”奠定了基础。
17世纪，在西方巴洛克时期，巴赫的名作《十二平均律钢琴曲集》运用了一个新的音律。这个音律，解析了自然存在的半音关系。从物理学上看，以频率标注的音高，每升高一个八度，频率翻番。比如1975年最终确认的国际标准音 A，其震动为 440Hz，升高一个八度就是880Hz。然后，从数学上看，将八度音程等分12份，于是，就有了半音。再做计算，相邻半音的频率比为：2的1/12次方。这就出现了音乐上的“十二平均律”。
这些计算，对数学家来说未必高端，但对于艺术家却太过复杂。当然，音乐家不问计算。他们只是感到，带有数学复杂性的半音，丰富了音乐的表现力。严谨的德国人巴赫注意到“十二平均律”的科学与艺术优势，从1722年到1744年，他写了24首钢琴曲，组成两卷本的《十二平均律钢琴曲集》。在纷纭数字的背后，出现了被誉为“音乐圣经”的美妙乐音。
其实，在中国明代万历二十三年（1595年），律学家、历学家、音乐家朱载堉就完成了他的《乐律全书》。其中，就论述到了“十二平均律”。还是在万历十一年（1584 年），百年之后巴赫才诞生，这位明朝王子就已经作了“十二平均律”的演算——匀律音阶的音程，可取2的12次方根。这是音乐史上的一个重大发现。来自西方的传教士忙不迭地经丝绸之路，竞相把朱载堉的“十二平均律”带到西方。
巴赫未必知道这位中国王子。但这个音律带来的深远影响，却在西方乐坛焕发出光彩，以至于写出那部“音乐圣经”的巴赫，比中国的朱载堉还要出名。此刻，就连巴赫的乡党、德国物理学家赫尔姆霍茨也不得不公允地说句话了，中国王子朱载堉“在旧派音乐家的大反对中，倡导七声音阶。他把八度分成十二个半音以及变调的方法，是一个有天才和技巧的发明”。而今，“乐器之王”——钢琴大行于世，但西方钢琴制造的原理，却来自于发现“十二平均律”的这位东方科学家。
那么，朱载堉是如何发现“十二平均律”的？答案是：数学计算。他用81档的特大算盘，进行开平方、开立方计算。他提出“异径管说”，设计并制造了弦准和律管，使十二乐音相邻的两个音，增幅或减幅相等。艰苦的探究破解了音乐史上的难题，横空出世的一个数学公式：2开12次方，为“十二平均律”奠基。朱载堉在数学界和音乐界竖起了一座里程碑。
中国律学专家黄翔鹏先生说：“‘十二平均律’不是一个单项的科研成果，而是涉及古代计量科学、数学、物理学中的音乐声学，纵贯中国乐律学史，旁及天文历算并密切相关于音乐艺术实践的、博大精深的成果，是世界科学史和艺术史上的一大发明。”英国著名学者李约瑟认为，朱载堉是“世界上第一个平均律数字的创建人”，是“中国文艺复兴式的圣人”。
当数学遇到音乐，无序的自然之声成为有序的音乐之声，让原始声音演化为有律乐音。于是，从玄妙的数学世界走到美妙的艺术世界，数学让音乐更美丽。
我们发现，以枯燥演算得出的“十二平均律”经典公式，催生出许多美丽的音乐。巴赫的《十二平均律钢琴曲集》与其说是一个科学的数字排列，不如说是一次绝美的数学艺术的演绎。其中，开篇第一首“C大调前奏曲”，虽只运用自然音体系的三和弦与七和弦，却有着极致的优美，以至于让后人以它作为典雅高洁、流畅动听的圣歌《圣母颂》的钢琴伴奏。
在醉人乐声响起的那一刻，数学与音乐合成一道绚烂的霓虹——这就是当数学遇到音乐时，两个领域共同焕发出的全部魅力。
（永康 摘自《中国科学报》2018年3月30日，刘宏 图）